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Maximin in philosophy

In philosophy, the term “maximin” is often used in the context of John Rawls‘s A Theory of Justice, where he refers to it (Rawls (1971, p. 152)) in the context of The Difference Principle. Rawls defined this principle as the rule which states that social and economic inequalities should be arranged so that “they are to be of the greatest benefit to the least-advantaged members of society”. In other words, an unequal distribution can be just when it maximizes the benefit to those who have the most minuscule allocation of welfare conferring resources (which he refers to as “primary goods”).[4][5]

Veja o artigo da wikipedia sobre Minimax, em inglês, na íntegra.

Veja o artigo da wikipedia sobre, em português, na íntegra.

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Space/Time Foam

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Supersimetric and Unified Field Theory

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SÁBADO, 20 DE DEZEMBRO DE 2008

Uma entrevista com John Hagelin

Por Dennis Hughes, Share Guide Publisher   

John Hagelin, Ph.D. é uma autoridade mundial sobre os fundamentos da consciência humana. Sob a orientação de Maharishi Mahesh Yogi, ele tem dado grandes contribuições na reformulação sistemática da antiga ciência Vêdica da consciência. Perito na teoria do Campo Quântico Unificado, a contribuição científica do Dr. Hagelin no campo das partículas físicas e cosmologia inclui alguns dos mais citados trabalhos em Física.

Ele é o co-desenvolvedor daquilo que é agora considerado a principal candidata a Teoria do Campo Unificado, e dedica-se a aplicar as últimas descobertas científicas acerca da compreensão das leis naturais para o benefício individual e da sociedade. Em 1992, Dr. Hagelin aceitou ser presidente do recentemente formado Partido da Lei Natural (Natural Law Party). Sob a sua liderança, o partido se tornou o primeiro “partido alternativo” a alcançar “status” de partido nacional na Comissão Eleitoral Federal e ter seu candidato presidencial qualificado igualmente aos fundos federais

The Share Guide: Nós todos sabemos que o mundo está num estado frágil hoje, em muitos níveis. Que passos nós podemos dar como indivíduos para promover a saúde de nosso planeta?

Dr. John Hagelin: O impacto de nossas ações, individualmente e coletivamente, é inconcebivelmente vasto. Nós todos podemos apreciar, em alguma extensão, o impacto ambiental do comportamento poluidor. Mas, baseado naquilo que sabemos sobre o universe, o verdadeiro impacto de nossas ações é amplo demais. Por exemplo, a teoria do caos estabelece que nossos muitos minutes de ação podem ter incalculavelmente largos efeitos. Isso coloca uma grande carga de responsabilidade em todos. Exercitar a consideração do senso comum e tomar cuidados com nosso ambiente é um bom começo. Mas se nós realmente queremos proteger nosso planeta contra os efeitos negatives do comportamento humano, devemos fazer nosso pensamento e ação, espontaneamente, ficar de acordo com a Lei Natural. Devemos alinhar nosso comportamento com a Inteligência Universal que governa o universo e sustenta milhões de espécies na Terra. Felizmente, é natural um comportamento espontâneo alimentador da vida, a fisiologia do cérebro humano dificilmente etá conectada à experiência da Iluminação (os os mais elevados estados da consciência em que nós diretamente experimentamos e nos tornamos conectados com a Inteligência Cósmica, ou Campo Unificado na terminologia da física moderna. O desenvolvimento de nosso potencial cerebral total e a resultante expansão da compreensão humana como Ser Universal, devem ser o alvo da Educação hoje.

The Share Guide: Campo Unificado é outro termo para a Consciência Cósmica?

Dr. John Hagelin: O Campo Unificado é o mais profundo nível da realidade física descoberto pela Ciência. É um campo universal de inteligência da Natureza que governa o vasto universo em perfeita ordem. Consciência Cósmica é o estado de Iluminação, um estado de consciência humana em que a mente individual experimenta (e se identifica com) a inteligência universal. Nesse estado, o ego individual expande-se para se tornar o Cosmos. Todos os indivíduos são indivíduos Cósmicos e suas ações são suportadas espontaneamente por toda a vida.

The Share Guide: Estou interessado na conexão entre a meditação individual e o Campo Unificado. Como isso se dá, em relação com a prática de meditação diária? E como isso se transforma em criação de paz no mundo?

Dr. John Hagelin: A conexão é simples. Durante a meditação, a consciência rapidamente se expande para uma experiência de consciência universal (o Campo Unificado). A consciência individual se identifica temporariamente com a consciência universal no mais simples estado de consciência, o estado que os fisiologistas chamam “pura consciência”. Entretanto, nem todas as técnicas de meditação atingem essa experiência de pura consciência. Minhas observações foram com práticas de meditação que facilitam esta experiência fundamental de uma maneira eficaz e eficiente. Entre essas práticas está a Meditação Transcendental (MT) desenvolvida por Maharishi Mahesh Yogi, extensivamente procurada e amplamente praticada. Ela é segura, altamente eficaz e universal; funciona para pessoas de todas as convicções religiosas e culturais.

The Share Guide: Na palestra que você deu ano passado em São Francisco, você disse que “grupos de meditação agora são uma tecnologia comprovada para a paz, ao mesmo tempo em que nossa tecnologia de armamento pode assegurar a destruição”. Por favor explique!

Dr. Hagelin:

Mais de 50 estudos, publicados nos mais apreciados jornais científicos, têm demonstrado repetidamente que grupos de meditação podem vencer a violência e a guerra, em áreas de conflito. Neutraliza as tensões religiosas, étnicas e políticas em seu início, que são o combustível social do conflito. Já é demonstrado que previne o terrorismo global e reduz o crime, a violência doméstica e todas as negatividades nascidas do estresse social agudo.

The Share Guide: Muitos de nós entendemos que a meditação desenvolve nossa invencibilidade natural às idas e vindas de nossa vida diária. Mas desse estado de calma, como funciona o “princípio da proporcionalidade” do grupo de meditação?

Dr. Hagelin:

Quando dois alto-falantes próximos emitem o mesmo som, estas ondas sonoras se somam construtivamente. Eles produzem um volume equivalente a quatro alto-falantes (o quadrado do número de alto-falantes que são dois). Este é um princípio universal de comportamento de onda. Quando uma ondulação no Campo Unificado é gerada por indivíduos em proximidade física íntima, o poder das ondas combinadas deles/delas cresce como o quadrado do número de indivíduos. Isto é o que a pesquisa confirma. Por causa disto, grupos relativamente pequenos podem ter um impacto social enorme. Realmente, 8,000 indivíduos meditando juntos por períodos extensos podem transformar eventos mundiais. Isto tem sido rigorosamente demonstrado.

The Share Guide: Eu sei que você está trabalhando em um plano para colocar isto em ação. Por favor discuta o programa em que milhares de pandits vão meditar durante o ano todo na Índia!

Dr. Hagelin: 8.000 especialistas em meditação, em dedicação exclusiva, podem mudar o destino de civilização. Isto tem sido amplamente demonstrado. Estamos aumentando o número para 40.000 apenas por um fator de segurança.Um pandit védico é um meditador que, além de sua prática de Meditação Transcendental pratica o Vôo Iogue, práticas avançadas de promoção da paz que são tecnologias avançadas da antiga sabedoria Vêdica conhecidas como Yagyas. Estes Yagyas reforçam o impacto da paz mundial obtida pela meditação. Tenho levantado fundos para estabelecer esse grupo permanente de 8.000 a 40.000 de meditadores profissionais, em dedicação exclusiva, na Índia, onde é muito rentável. Obtivemos cerca de US$ 90 milhões, que é suficiente para sustentar quase 8.000 pessoas. Uma vez conseguindo reunir e treinar esse grupo, prevejo que vislumbraremos um mundo totalmente novo. Espero consegui-lo até Primavera de 2003. Rezo para que América e o mundo possam evitar qualquer confronto desastroso até lá.

The Share Guide: O que é o Vôo Iogue?

Dr. Hagelin: É uma técnica avançada de Meditação Transcendental derivado do Yoga Sutra de Patañjali. Durante a prática, o corpo, involuntariamente, começa a saltar, a partir da posição de lótus, num esforço espontâneo para voar. Historicamente, essa prática tem sustentação na habilidade corporal de flutuar e voar. É praticada hoje porque pesquisas demonstram que essa é a mais poderosa técnica de redução do estresse e conflito social. É uma tecnologia para a paz mundial.

The Share Guide: O que você quer dizer quando diz que a meditação é um quarto estado da consciência, distinto dos três estados conhecidos: vigília, sonho e sono? E, por favor, fale sobre o quinto estado, consciência transcendental ou iluminação!

Dr. Hagelin: Pura Consciência, a experiência direta do Campo Unificado, é um quarto estado de consciência, fisiologicamente e subjetivamente diferente da vigília, sonho e sono. Essa descoberto e publicado pela primeira vez em 1970, por Robert Keith Wallace e colaboradores. Mas, em primeiro lugar, essa experiência é um estado temporário. Com a prática regular de meditação, a experiência de consciência universal se torna permanentemente estabelecida, de forma que a percebemos durante a vigília, o sonho e o sono. Isso, então, constitui um quinto estado da consciência humana, tradicionalmente conhecido como Iluminação. Neste estado de 24 horas de felicidade, todas as ações estão em plena sintonia com a Lei Natural, que espontaneamente dá suporte à vida.

The Share Guide: Muitas pessoas são céticas quanto ao conceito de que grupos de meditação têm um efeito na paz mundial, e podem não aceitar os estudos citados em sua lista de pesquisas. Como você responde a esse ceticismo?

Dr. Hagelin: Não se trata de mera opinião. O método científico possui métodos incontestáveis de estabelecer fatos científicos, através de rigorosa experimentação. A eficácia de grupos de meditação em reduzir o crime e a guerra tem sido extensivamente estudado e rigorosamente estabelecido, mais do que qualquer fenômeno na história da ciência social. É um fato científico; não existe nenhum espaço para argumentação!

The Share Guide: Como nós percebemos, quando meditando, que não estamos conectados com nosso Self e sim com a Consciência Cósmica?

Dr. Hagelin: A experiência de Pura Consciência é auto-evidente e óbvia. Tal como acontece quando você desperta e sabe que está acordado. Se você não está absolutamente certo que você está acordado, existem chances de você estar sonhando. Da mesma forma, se você não tiver certeza de que está experimentando a Pura e Ilimitada Consciência, você provavelmente não a estará. Pode ser o momento de tentar um sistema mais eficaz de meditação.

The Share Guide: Você recomenda o conceito de “por entre parênteses” na sua atividade diária períodos de meditação de manhã e à noite. Isso lhe permite relaxar na sua natureza eterna por meio da meditação e desempenhar ações em todo o mundo deste ponto vantajoso.

Dr. Hagelin: Sim, é uma rotina maravilhosa. A experiência regular da Pura Consciência é necessária para estabilizá-la, através disso, alcançar a Iluminação.

The Share Guide: Você tem sido candidato presidencial. No livro ‘Uma Razão para Votar’, você é totalmente otimista quando declara que o maior épico da historia Americana será ‘a história de um povo que exigiu de seu governo, e de seu país, a partir de um ponto bem estabelecido, uma auto-serviência da oligarquia político industrial e de seus patrocinadores corporativos que, acima de tudo, procuram preservar seus status quo. Você também declara que essa é a ‘história de um povo que retorna a seu país pelos princípios da Lei Natural sobre a qual foi fundado’. Mas muitos de nós, onde quer que olhemos, vemos que nossos líderes agem fora da Lei Natural. Como nós, como indivíduos, podemos mudar a maré dos atuais acontecimentos que conduzem à degradação social e ambiental?

Dr. Hagelin: Infelizmente, como nação, tendemos a ter o governo que merecemos. É justamente o karma, especialmente numa democracia, onde nós é que elegemos o governo. Por isso, não podemos esperar um governo melhor a menos e até que despertemos as massas. É nisso que eu estou pessoalmente focalizado hoje, sobre o aumento da consciência coletiva da nação e do mundo. Isto pode soar como uma tarefa impossível, mas é mais fácil do que parece. Não é realmente necessário esclarecer a todos, ou mesmo alcançar a todos. Podemos alçar nosso poder, por intermédio daqueles que estejam acordados, podendo exercer uma influência desproporcional sobre a sociedade. Este é o poder da meditação coletiva. Grupos com experiência no Campo Unificado, de nossa realidade cósmica comum, potentemente estimulam este campo universal e têm um profundo efeito sobre o despertar de todos. Ele criam indomáveis ondas de positividade e paz. Cada grupo de meditação, repetidamente, demostrou reprimir a violência social e até mesmo a guerra aberta em áreas de conflito, como o Oriente Médio. Para mais informação sobre isto, vocês podem ler o excelente livro ‘Paz Permanente’ (Permanent Peace) de Robert M. Oates ou visitar o seu site http://www.createpermanentpeace.com.

The Share Guide: Você disse, em sua palestra de São Francisco, que nós devemos exercitar nossa Criatividade Cultural em nossa influência política. Para isso teremos que, na esfera política, aderir a um partido alternativo como o Partido Verde ou o Partido da Lei Natural, em vez de tentar reconstruir o Partido Democrático. O livro ‘Destruindo o Partido’, de Ralph Nader, mostra o quanto as probabilidades estão amontoadas contra esses partidos, mas eu tenho ouvido você dizer repetidamente que ‘os partidos alternativos empurram a nação para novas direções’. Você poderia cuidadosamente elaborar isso?

Dr. Hagelin: Noventa por cento de todas as idéias que nós gostamos em nossa democracia, originalmente, vieram de partidos alternativos. Esses partidos têm um poder que é desproporcional ao seus tamanhos. O Partido Democrático, durante décadas de liderança na Casa branca e no Senado, tem demonstrado a sua fidelidade a interesses particulares. Hoje, é demonstrado sua impotência em face a um Partido Republicano que intimida pela guerra. Mas a militância política sem uma profunda transformação em nossa consciência nacional, é também insuficiente para efetuar mudanças substanciais. Nós necessitamos mirar para a causa base da inércia e corrupção na política. Temos que elevar a consciência coletiva da nação.

The Share Guide: Existem outros partidos alternatives sérios além do Partido Verde e do Partido da Lei Natural? E o Partido Libertário e o Partido Reformista?

Dr. Hagelin: Esses partidos têm idéias que merecem ser ouvidas. De todos esses partidos, entretanto, o Partido da Lei Natural tem a mais completa e abrangente plataforma de estudos e soluções sustentáveis em harmonia com a Lei Natural,acrescido de um elenco de ativistas dedicados verdadeiramente maravilhoso. (Para mais informações visite http://www.naturallaw.org)

The Share Guide: Quais são suas sugestões de referência (livros e websites) e como nós podemos ficar informados do atual trabalho de meditação em grupo?

Dr. Hagelin: Meu livro, Manual for a Perfect Government, é conciso e ainda suficientemente compreensível. Recomendo um exame minucioso do Projeto para a Perpétua Paz Mundial, no website http://www.maharishi.invincibledefence.org. E, como mencionado antes, recomendo o livro Permanent Peace em http://www.createpermanentpeace.com.

Veja também dois vídeos selecionados de John Hagelin.

Em Física, a relatividade geral é a generalização da Teoria da gravitação de Newton, publicada em 1915 por Albert Einstein e cuja base matemática foi desenvolvida pelo cientista francês Henri Poincaré. A nova teoria leva em consideração as ideias descobertas na Relatividade restrita sobre o espaço e o tempo e propõe a generalização do princípio da relatividade do movimento de referenciais em movimento uniforme para a relatividade do movimento mesmo entre referenciais em movimento acelerado. Esta generalização tem implicações profundas no nosso conhecimento do espaço-tempo, levando, entre outras conclusões, à de que a matéria (energia) curva o espaço e o tempo à sua volta. Isto é, a gravitação é um efeito da geometria do espaço-tempo.

Índice

Preliminares conceituais

Uma das descobertas mais importantes do século XX, feita por Einstein, é a de que podemos apresentar as leis da Física na forma de uma geometria quadridimensional, em que o tempo é uma dimensão adicional às três dimensões espaciais a que estamos habituados.

Das ideias que levaram à Relatividade restrita, sem dúvida a mais importante para se entender o papel da gravitação na Física é a ideia, chamada de princípio da relatividade, de que as leis da física devem ser escritas da mesma forma em qualquerreferencial inercial. Este princípio deve ser obedecido por qualquer lei da Física que venha a ser expressa nesse contexto.

Einstein supôs que a gravidade, devido ao princípio da equivalência entre massa inercial e gravitacional, seria um tipo de força inercial, isto é, do tipo que aparece em sistemas não inerciais (em movimento acelerado), como, por exemplo, a força centrífuga em um carrossel, ou a força que o empurra para trás durante a aceleração de um trem.

Com esta ideia em mente, e generalizando a ideia da Relatividade restrita, Einstein propôs que:

As leis da física devem ser escritas da mesma forma em qualquer sistema de coordenadas, em movimento uniforme ou não.

É por esta via da covariância sob mudança de coordenadas generalizadas que a gravitação se acopla ao eletromagnetismo e à mecânica clássica, para os quais foi direcionado o desenvolvimento inicial da Relatividade restrita.

Laboratórios em órbita ou em queda livre são o que temos na Terra de mais próximo de um referencial localmente inercial. Portanto, se for necessário realizar um experimento em um local livre de forças externas, há duas opções na Terra: entrar em um avião, subir até algumas dezenas de quilômetros de altura e deixar-se cair em queda livre (dentro de um avião, num voo parabólico), ou usar qualquer uma estação espacial em órbita.

O Princípio da Relatividade Geral

O postulado base da Teoria da Relatividade Geral, chamado de Princípio da Equivalência, especifica que sistemas acelerados e sistemas submetidos a campos gravitacionais são fisicamente equivalentes. Nas próprias palavras de Einstein em seu trabalho de 1915:

Nós iremos portanto assumir a completa equivalência física entre um campo gravitacional e a correspondente aceleração de um sistema de referência. Esta hipótese estende o princípio da relatividade especial para sistemas de referência uniformemente acelerados.

Por esse princípio, uma pessoa numa sala fechada, acelerada por um foguete com a mesma aceleração que a da gravidade na Terra (9,78m / s2), não poderia descobrir se a força que a prende ao chão tem origem no campo gravitacional terrestre ou se é devida à aceleração da própria sala através do espaço e vice-versa. Uma pessoa em uma sala em órbita ou queda livre em direção a um planeta não saberá dizer por observação local se se encontra em órbita ao redor de um planeta ou no espaço profundo, longe de qualquer corpo celeste. Esse experimento mental é conhecido na literatura como o elevador de Einstein.

Esse princípio é válido apenas para vizinhanças pequenas do ponto considerado, e determina o chamado referencial localmente inercial através de uma lei de transformação entre o referencial do observador (genérico) e um em que a Física se assemelha àquela da Relatividade restrita.

Uma consequência importante do Princípio da Equivalência é a identificação entre os conceitos de massa inercial e massa gravitacional. Embora isso pareça óbvio, conceitualmente elas são distintas. A massa inercial é aquela expressa na segunda lei de Newton\vec{F}=m\vec{a}, e corresponde à resistência dos corpos em mudar seu estado de movimento relativo. A massa gravitacional é aquela da lei da gravitação universal de Newton, e corresponde à capacidade que um corpo tem de atrair outro. Identificando um referencial acelerado a uma força gravitacional, esses conceitos se confundem, e as massas se tornam a mesma entidade. A diferença medida experimentalmente entre elas é inferior, em proporção, a 10 − 9.

O Princípio da Equivalência tem, portanto, como principal consequência, a equivalência entre massa gravitacional e inercial.

A ligação com a geometria

O Princípio da Equivalência põe em pé de igualdade todos os referenciais. Uma consequência disso é que um observador movendo-se livremente em seu referencial pode ver-se em um estado de movimento diferente do visto por um observador em outro ponto do espaço. Voltando ao exemplo do elevador: um observador dentro de uma nave espacial em órbita se vê completamente livre de forças inerciais, o que para ele significa que o seu referencial é localmente inercial (em repouso, ou movendo-se uniformemente, segundo a primeira lei de Newton). Um observador na Terra constata que a nave não está em movimento retilíneo, mas em órbita ao redor da Terra.

A maneira de se lidar com essas diferenças é escrever em um referencial genérico a equação de movimento observada no referencial localmente inercial, através da equação que determina a transformação de referenciais.

No referencial localmente inercial, não há acelerações nas trajetórias das partículas, o que significa:

 \frac{\partial^2x_{\mu}}{\partial \tau^2} = 0

onde μ é um índice que varia de 0 a 3, sendo x0 a coordenada do tempo, e x1x2 e x3 as coordenadas espaciais, e τ é o tempo próprio do referencial.

A equação que rege a mudança de referenciais é genericamente escrita como:

 dx^{\prime}_{\mu} = \frac{\partial x^{\prime}_{\mu}}{\partial x^{\nu}} dx^{\nu}

que corresponde ao jacobiano associado à mudança de coordenadas.

Aplicando essa lei de transformação na equação de movimento, resulta:

 \frac{\partial^2x^{\prime}_{\mu}}{\partial \tau^2} + \Gamma^{\mu}_{\alpha\beta}\frac{\partial x^{\alpha}}{\partial\tau}\frac{\partial x^{\beta}}{\partial\tau} = 0

Essa é a equação da geodésica, que nada mais é do que a equação de movimento de um corpo em um referencial genérico. Ou seja, se em um referencial localmente inercial um corpo executa movimento retilíneo uniforme, em um referencial genérico o mesmo corpo percorrerá ao longo do espaço-tempo uma curva chamada de geodésica, que não necessariamente é uma linha reta nesse referencial.

O objeto \Gamma^{\mu}_{\alpha\beta} que aparece na equação da geodésica é chamado de conexão, e representa uma medida de quanto um dado referencial não é inercial. Nos referenciais inerciais as conexões são sempre iguais a zero.

Assim, uma vez que as geodésicas são diferentes, as geometrias do espaço-tempo nos dois casos são diferentes. Isso é uma característica puramente geométrica do espaço-tempo, que deve ser expressa em função apenas das suas propriedades.

Geometria do espaço-tempo

Geodésica no espaço-tempo de uma partícula parada em um ponto do plano x-y

A ideia importante para se entender a fundo os conceitos básicos da Relatividade geral é entender o que significa o movimento de um corpo neste espaço-tempo de 4 dimensões. Não existe movimento espacial sem movimento temporal. Isto é, no espaço-tempo não é possível a um corpo se mover nas dimensões espaciais sem se deslocar no tempo. Mas mesmo quando não nos movemos espacialmente, estamos nos movendo na dimensão temporal (no tempo). Mesmo sentados em nossa cadeira lendo este artigo, estamos nos movendo no tempo, para o futuro. Este movimento é tão válido na geometria do espaço-tempo quanto os que estamos habituados a ver em nosso dia a dia. Portanto, no espaço-tempo estamos sempre em movimento, e a nossa ideia de estar parado significa apenas que encontramos uma forma de não nos deslocarmos nas direções espaciais mas apenas no tempo (veja o exemplo deste tipo de geodésica na figura ao lado).

Essa afirmação é importantíssima, e merece esclarecimentos. O motivo é simples: no plano espacial, se um objeto se desloca de um ponto ao outro sem se deslocar na direção temporal, a velocidade deste deslocamento será infinita, já que a velocidade inclui um deslocamento pelo intervalo de tempo, que neste caso seria zero. E da Teoria da Relatividade especial sabe-se que a maior velocidade possível para algo material, no nosso universo, é a velocidade da luz. Portanto este resultado da Relatividade especial cria imediatamente no nosso espaço-tempo duas regiões distintas: uma região a que podemos ter acesso (chamada de tipotempo), e regiões às quais não podemos ter acesso imediato (chamadas de tipo espaço). Isto é uma característica diferente da de um espaço de 4 dimensões qualquer, por exemplo, onde não temos restrição alguma entre as regiões do espaço, nem uma direção especial.

A relatividade restrita, portanto, impõe sobre a geometria do espaço-tempo uma restrição fundamental e diversa do que esperaríamos de um espaço euclidiano de quatro dimensões, por exemplo. Esta diferença se reflete na estrutura básica da geometria.

Podemos mostrar como estas diferenças se refletem na noção de distância, que na Relatividade Especial é chamada de intervalo, para não invocar a mesma ideia de distância euclidiana. Se quisermos medir a distância entre dois pontos em um espaço de 3 dimensões, usamos a fórmula de Pitágoras:

s2 = (x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 + (z1 − z2)2

Incluindo o tempo para termos o espaço-tempo, poderíamos imaginar uma fórmula equivalente para a distância entre dois pontos:

s2 = c2(t1 − t2)2 + (x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 + (z1 − z2)2

Note que tivemos o cuidado de multiplicar o termo temporal por c, a velocidade da luz no vácuo, para termos um comprimento, uma vez que não faz sentido somar tempo com distância. Para pontos muito próximos (lembre-se que temos que manter nossa análise local para podermos garantir que estamos em um referencial inercial), podemos escrever.

 \Delta s^2 =  c^2 (\Delta t)^2 + (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 + (\Delta z)^2  = c^2 (\Delta t)^2 + (\Delta \vec{x} )^2

Mas isto não reflete a característica essencial do espaço-tempo que estamos discutindo. A distância acima é simplesmente a distância em espaço euclidiano de 4 dimensões. O que sabemos é que as velocidades espaciais possíveis são sempre menores que a velocidade da luz:

 \left| \frac{d}{dt} \vec{x} \right| \leq c

E isto, de certa forma, deve ser refletido pela geometria que estamos procurando. E está, como iremos demonstrar. Elevando ao quadrado para eliminar o módulo acima, e reorganizando os termos, podemos escrever nossa restrição como:

 (d \vec{x} )^2 \leq c^2 dt^2

Repare que a expressão acima é o equivalente matemático do que acabamos de dizer: deslocamentos espaciais válidos devem ser menores que c dt para que a velocidade do deslocamento seja menor que a da luz. Comparando esta expressão com a da distância em um espaço euclidiano, dada acima, vemos uma semelhança. Podemos entender agora que o termo ds :

 ds^2 = c^2 dt^2 - d \vec{x}^2   \geq 0

pode ser utilizado como definição para o cálculo de intervalos no espaço-tempo.

Para completar, precisamos agora entender como esta medida de intervalos pode ser generalizada para um sistema de coordenadas qualquer.

Em quatro dimensões, usando a notação de Einstein para somas de vetores, podemos escrever o intervalo como sendo o seguinte:

ds2 = gμνdxμdxν

que nada mais é do que o teorema de Pitágoras generalizado a quatro dimensões. No caso da Relatividade restrita, o tensor métrico gμν é dado pela seguinte matriz:

 g_{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}= \begin{bmatrix} 1&0&0&0\\ 0&-1&0&0\\ 0&0&-1&0\\ 0&0&0&-1 \end{bmatrix}

Na Relatividade geral, a presença de matéria e energia altera os termos dessa matriz, alterando a métrica do espaço-tempo. É importante notar que a métrica é uma característica do espaço-tempo e não do referencial. Assim, ela é invariante para todos os referenciais.

Podemos assim determinar uma expressão para as conexões que depende unicamente da métrica em cada ponto.

No entanto, para todo ponto no espaço-tempo podemos definir um referencial localmente inercial, que tem a conexão igual a zero. Para medir precisamente a diferença entre a geometria de um ponto a outro, é necessário que sejam analisadas as derivadasdas conexões.

Curvatura do espaço-tempo

Geódesica no espaço-tempo de uma partícula próxima a um corpo material

Imaginemos agora um observador no espaço profundo. Suponha que ele esteja parado, isto é, em um movimento geodésico que é uma linha reta diretamente para o futuro. Se agora colocarmos instantaneamente ao seu lado uma massa suficientemente grande, a deformação que esta massa causará no espaço-tempo em sua vizinhança irá curvar e alterar as coordenadas originais do espaço-tempo no local. O efeito é que aquele movimento que era apenas uma linha reta na direção temporal agora passará a ocorrer também nas novas coordenadas espaciais. A linha se curva e se enrola em torno do corpo enquanto ele se move na direção do tempo futuro. E nosso observador começa a se mover espacialmente devido à distorção da geometria causada pela massa, não devido à presença de uma força. Isto era o efeito que se costuma chamar de gravidade mas que, à luz desta teoria, é uma distorção da geometria do espaço-tempo devido à presença de uma massa.


Para ajudar a entender intuitivamente o conceito de curvatura do espaço-tempo por um objeto massivo é comum usar-se uma analogia com a deformação causada por uma bola pesada numa membrana elástica. (É evidentemente uma representação um tanto «fantasiosa», pois mostra apenas a curvatura espacial de um espaço de duas dimensões, sem levar em consideração o efeito do tempo.)

Uma analogia para a curvatura do espaço-tempo causada por uma massa

Quanto maior for a massa do objeto, maior será a curvatura da membrana. Se colocarmos perto da cova criada um objeto mais leve, como uma bola de ping-pong, ela cairá em direção à bola maior. Se, em vez disso, atirarmos a bola de ping-pong a uma velocidade adequada em direção ao poço, ela ficará a “orbitar” em torno da bola pesada, desde que o atrito seja pequeno. E isto é, de algum modo, análogo ao que acontece quando a Lua orbita em torno da Terra, por exemplo.

Na relatividade geral, os fenômenos que na mecânica clássica se considerava serem o resultado da ação da força da gravidade, são entendidos como representando um movimento inercial num espaço-tempo curvo. A massa da Terra encurva o espaço-tempo e isso faz com que tenhamos tendência para cair em direção ao seu centro.

O ponto essencial é entender que não existe nenhuma «força da gravidade» atuando à distância. Na relatividade geral, não existe ação à distância e a gravidade não é uma força mas sim uma deformação geométria do espaço encurvado pela presença nele de massa, energia ou momento. E uma geodésica é o caminho mais curto entre dois pontos, numa determinada geometria. É a trajetória que segue no espaço-tempo um objeto em queda livre, ou seja, livre da ação de forças externas. Por isso, a trajetória orbital de um planeta em volta de uma estrela é a projeção num espaço 3D de uma geodésica da geometria 4D do espaço-tempo em torno da estrela.

Se os objetos tendem a cair em direção ao solo é apenas devido à curvatura do espaço-tempo causada pela Terra. Quando um objeto foi lançado no ar, ele sobe e depois cai. Mas não é porque haja uma força a puxá-lo para baixo. Segundo Einstein, o objeto segue apenas uma geodésica num espaço-tempo curvo. Quando está no ar, não há nenhuma força a agir sobre ele, exceto a da resistência do ar. Se o vemos a acelerar, é porque, quando estamos parados em cima do solo, a nossa trajetória não segue uma «linha reta» (uma geodésica), porque há uma força que age sobre nós: a força do solo a puxar-nos para cima. Aquilo a que chamamos «força da gravidade» resulta apenas do fato de a superfície da Terra nos impedir de cair em queda-livre segundo a linha geodésica que a curvatura do espaço-tempo nos impõe. Aquilo a que chamamos «força da gravidade» é apenas o resultado de estarmos submetidos a uma aceleração física contínua causada pela resistência mecânica da superfície da Terra. A sensação de peso que temos resulta do fato da superfície da Terra nos «empurrar para cima».

Uma pessoa que cai de um telhado de uma casa não sente, durante a queda, nenhuma força gravitacional. Sente-se «sem peso». Se largar um objeto, ele flutuará a seu lado, exatamente com a mesma aceleração constante (na ausência da resistência do ar).


Mas, como já se explicou, a analogia apresentada dificilmente se pode considerar uma boa representação do que realmente acontece. O exemplo que apresentamos anteriormente permite elucidar de um modo mais correto a curvatura do espaço-tempo, através de efeitos sobre as linhas geodésicas. Em cada ponto do espaço disparamos ou apenas soltamos uma pequena massa de prova e observamos a sua trajetória. De um ponto de seu referencial inercial dispare uma massa em cada um dos seus eixos de coordenadas espaciais e observe: obviamente, se elas continuarem indefinidamente em linha reta, você estará em um espaço-tempo plano (espaço de Minkowski). Caso contrário, as trajetórias poderão lhe dar informações sobre a curvatura na região. Esta é a melhor maneira pela qual podemos esperar descrever um objeto que possui 4 dimensões para seres que vivem em apenas 3 dimensões.

Matemática da Relatividade Geral

Para estender as leis da física para o contexto de sistemas de coordenadas gerais, um extenso arsenal de ferramentas matemáticas deve ser dominado. Mesmo antes do advento da Relatividade Geral, na mecânica clássica, por exemplo, uma quantidade enorme de trabalhos foram desenvolvidos para se trabalharem os sistemas físicos em diversos sistemas de coordenadassistemas de coordenadas cartesianosesféricascilíndricas, etc. Apesar dos nomes, nenhum destes sistemas de coordenadas utilizados na Física Matemática é geral o bastante para causar alteração na geometria. Eles são formas de se aproveitarem as simetrias do problema e ajudam, portanto, a simplificar a solução. Na Relatividade Geral precisamos estender este conhecimento para transformações de coordenadas que alterem a geometria do espaço-tempo. Para isto são necessárias uma síntese e uma generalização deste conhecimento matemático em um novo cálculo, o Cálculo Tensorial. Por sorte, esta síntese estava sendo criada pelo matemático Tullio Levi-Civita, baseando-se nos trabalhos anteriores de Hamilton e Gregorio Ricci-Curbastro, na mesma época em que Einstein iniciou seu trabalho na Relatividade Geral. De fato, Einstein aprendeu os conceitos diretamente de Levi-Civitta.

Com esta ferramenta nova, podemos generalizar o conceito de cálculo de intervalos do espaço-tempo, introduzindo o tensor métrico para o espaço-tempo:

ds2 = gμνdxμdxν

A notação com índices, chamada notação clássica do cálculo tensorial, possui a convenção de que índices repetidos, um superior e outro inferior, representam uma soma no conjunto de índices. No nosso caso estes índices variam de 0 até 3 para representar o tempo (índice 0), e as coordenadas espaciais. Esta é a mesma expressão que obtivemos anteriormente se escrevermos o tensor gij da Relatividade Restrita de forma matricial como:

g_{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}= \begin{bmatrix} 1&0&0&0\\ 0&-1&0&0\\ 0&0&-1&0\\ 0&0&0&-1 \end{bmatrix}

O ponto importante a se entender aqui é que, no espaço-tempo curvo, o tensor métrico não possui mais seus elementos constantes como acima. Eles passam a ser funções das coordenadas espaço-temporais que contêm informações sobre a geometria local. Mesmo assim, a expressão para o cálculo de intervalos ainda continua sendo escrita da mesma forma. E isto reflete a ideia básica do cálculo tensorial: permitir escrever quaisquer equações independentemente do sistema de coordenadas utilizado.

O Tensor métrico é a peça fundamental da teoria da Relatividade Geral e é um tensor simétrico, isto é gμν = gνμ. Isto significa que em vez de termos 16 componentes gμν, temos apenas 10 componentes independentes.

O tensor métrico possui informações não só sobre como se calculam as distâncias, mas como se realizam outras operações geométricas em espaços curvos, como o transporte paralelo de vetores e outros objetos matemáticos. É através dele que se obtém a expressão para a curvatura do espaço-tempo e se obtém o Tensor de Einstein, utilizado na equação da Relatividade Geral, que sumariza a interação da geometria com a matéria:

G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - {R \over 2}  g_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = {8 \pi G \over c^4} T_{\mu\nu}

onde Gμν é o tensor de Einstein, Rμν são as componentes do Tensor de curvatura de RicciR é a Curvatura escalargμν são as componentes do tensor métricoΛ é a Constante cosmológicaTμν são as componentes do Tensor de tensão-energia que descreve a matéria e energia em um dado ponto do espaço-tempo e G é a Constante de gravitação, a mesma da lei de Newton da gravidade. O Tensor de Ricci e a Curvatura Escalar são derivados do tensor métrico, como dito acima.

Soluções da Equação de Einstein

Ver artigo principal: Equações de campo de Einstein

A primeira solução exata para a equação de Einstein foi proposta por Karl Schwarzschild na chamada Métrica de Schwarzschild, e é a solução para o caso de uma massa esférica estacionária, isto é, sem rotação da massa. Esta foi também a primeira solução que descreve um buraco negro.

Soluções da equação de Einstein são obtidas a partir de uma determinada métrica. Propor uma métrica correta é uma parte importante e difícil do problema. Estas são algumas das soluções conhecidas da Equação de Einstein:

  1. Métrica de Schwarzschild.
  2. Métrica de Kerr, que descreve o caso de uma massa girante esférica.
  3. Métrica de Reissner-Nordstrom, para o caso de uma métrica esférica com carga elétrica.
  4. Métrica de Kerr-Newman, para o caso de um massa girante com carga elétrica.
  5. Métrica de Friedmann-Robertson-Walker (FRW), usada em cosmologia como modelo de um universo em expansão.
  6. Métrica de Gödel (FRW), usada em cosmologia como modelo de um universo em rotação.
  7. Métrica de ondas-pp que descreve vários tipos de ondas gravitacionais.

As soluções (1), (2), (3) e (4) descrevem buracos negros.

Referências

Museu de Sobral no Ceará[1].

Brasileiros de Sobral no Local da comprovação do desvio da luz pela massa do sol (como previsto nos calculos matematicos de Einstein) fizeram um museu que é visitado anualmente por milhares de turistas.

Buracos Negros [2] página em inglês.

  • Laurent Baulieu ; Introdução à relatividade geral, curso de introdução ministrado na Escola Politécnica por um pesquisador do Laboratário de Física Teórica de Energias “Hautes” da Universidade de Paris VI, especialista na teoria quântica do campo. (Fichier PostScript – 53 pages.)
  • Luc Blanchet ; Introdução à relatividade geral (I), curso de introdução ministrado na École de Gif-sur-Yvette em 2000 por um pesquisador do Instituto de Astrofísica de Paris (Meudon), especialista na teoria de Einstein. (15 transparências no format jpeg).
  • Gerard ‘t Hooft ; Introdução geral da relatividade, com introduções do Colégio Caput em 1998 por prix Nobel 1999, ‘chercheur’ à Instituição para Física Teórica, Universidade Utrecht(Pays-Bas) (Fichier Postscript – 68 pages).